Если бросить камень горизонтально, он полетит по параболе и упадёт на Землю. Чем больше начальная скорость, тем дальше он улетит. Но что будет, если скорость станет настолько большой, что камень, падая, не сможет достичь поверхности Земли — потому что Земля под ним будет уходить вниз из-за своей кривизны?
В этом случае камень станет искусственным спутником Земли. Скорость, при которой это происходит, называют первой космической скоростью.
На спутник, движущийся по круговой орбите вблизи поверхности Земли, действует сила тяжести $F = mg$. Она же является центростремительной силой, удерживающей спутник на орбите:
\[mg = \frac{mv^2}{R}\]где $R$ — радиус Земли (примерно 6400 км). Отсюда:
\[v = \sqrt{gR}\]Подставляя $g = 9{,}8\ \text{м/с}^2$ и $R = 6{,}4 \times 10^6\ \text{м}$, получаем:
\[v \approx 7{,}9 \times 10^3\ \text{м/с} \approx 7{,}9\ \text{км/с}\]Это и есть первая космическая скорость. При такой скорости тело становится спутником Земли и движется по круговой орбите.
Более точный расчёт использует закон всемирного тяготения. Сила притяжения Земли и спутника:
\[F = G \frac{Mm}{(R + h)^2}\]где $h$ — высота орбиты над поверхностью. Приравнивая её к центростремительной силе $mv^2/(R + h)$, получаем:
\[v = \sqrt{\frac{GM}{R + h}}\]Для $h = 0$ (у поверхности) это даёт те же $7{,}9$ км/с.
Если скорость тела превышает $7{,}9$ км/с, орбита становится эллиптической. При скорости около $11{,}2$ км/с тело преодолевает земное притяжение и уходит в межпланетное пространство — это вторая космическая скорость.