В §3 мы говорили, что движение относительно. Одно и то же тело может двигаться с одной скоростью относительно одного тела отсчёта и с другой — относительно другого. Как связаны эти скорости между собой?
Представь: человек идёт по движущемуся теплоходу. Относительно теплохода его скорость одна. Относительно берега — совсем другая, потому что к скорости человека добавляется скорость самого теплохода.
Этот простой пример подводит нас к важнейшему правилу — закону сложения скоростей.
Рассмотрим две системы отсчёта: неподвижную (условно — Земля) и движущуюся (например, теплоход). Пусть тело движется относительно теплохода со скоростью $\vec{v}_1$, а сам теплоход движется относительно Земли со скоростью $\vec{v}_2$.
На рисунке показан этот случай: человек (красная точка) идёт по палубе теплохода (синий прямоугольник). Скорость человека относительно теплохода — $\vec{v}_1$, скорость теплохода относительно берега — $\vec{v}_2$.
Как найти скорость человека относительно берега? Надо сложить обе скорости: скорость человека относительно теплохода и скорость теплохода относительно берега.
Если тело движется относительно подвижной системы отсчёта со скоростью $\vec{v}_1$, а сама подвижная система движется относительно неподвижной со скоростью $\vec{v}_2$, то скорость тела относительно неподвижной системы равна векторной сумме этих скоростей:
\[\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2\]Это и есть закон сложения скоростей. Важно подчеркнуть: сложение векторное, а не арифметическое. Если скорости направлены под углом друг к другу, их складывают по правилу параллелограмма или треугольника.
На рисунке ниже показано сложение скоростей для случая, когда человек переходит теплоход не вдоль, а поперёк палубы. Вектор скорости относительно берега $\vec{v}$ — это диагональ параллелограмма, построенного на $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$.
Если скорости направлены вдоль одной прямой, векторное сложение превращается в арифметическое — но со знаками.
Движение в одном направлении. Когда человек идёт по теплоходу в ту же сторону, куда плывёт теплоход, скорости складываются:
\[v = v_1 + v_2\]Движение в противоположном направлении. Когда человек идёт против движения теплохода, скорости вычитаются:
\[v = \vert v_1 - v_2 \vert\]Если $v_1 > v_2$, человек движется вперёд относительно берега. Если $v_1 < v_2$, его несёт назад. А если $v_1 = v_2$, он остаётся на месте относительно берега — как бегун на беговой дорожке.
Закон $\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$ называют классическим законом сложения скоростей. Он справедлив для всех скоростей, с которыми мы имеем дело в повседневной жизни.