До сих пор мы рассматривали равномерное движение — когда скорость тела не меняется ни по модулю, ни по направлению. Но в действительности тела редко движутся строго равномерно. Автомобиль трогается, разгоняется, притормаживает, поворачивает. Скорость меняется всё время.
Как же описать такое движение? Первый шаг — ввести понятие средней скорости.
Пусть тело совершило перемещение $\Delta\vec{r}$ за время $\Delta t$. Средней скоростью $\vec{v}_{\text{ср}}$ называют отношение:
\[\vec{v}_{\text{ср}} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\]Средняя скорость показывает, куда и насколько в среднем смещалось тело за единицу времени. Но она ничего не говорит о том, как именно тело двигалось внутри промежутка $\Delta t$: могло ускоряться, замедляться, останавливаться — средняя скорость будет одна и та же.
На рисунке показано: тело движется по сложной траектории от M₁ до M₂. Средняя скорость $\vec{v}_{\text{ср}}$ — это просто вектор перемещения, делённый на время. Она не отражает изгибов пути.
Чтобы узнать скорость тела в данный момент времени (например, что показывает спидометр автомобиля), средняя скорость не годится. Нужна более точная величина.
Представим, что мы уменьшаем промежуток времени $\Delta t$, за который измеряем перемещение. Чем меньше $\Delta t$, тем меньше успевает измениться скорость тела, и тем точнее средняя скорость описывает движение в данный момент.
Если мы будем уменьшать $\Delta t$ к нулю, то средняя скорость будет стремиться к некоторому пределу. Этот предел называют мгновенной скоростью:
\[\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\]Математики записывают это иначе — как производную радиус-вектора по времени:
\[\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}\]Мгновенная скорость — это скорость тела в данной точке траектории в данный момент времени. Именно её показывает спидометр автомобиля. И именно она — та величина, которая характеризует движение «здесь и сейчас».
На рисунке показано, как уменьшение $\Delta t$ уточняет направление скорости. При больших $\Delta t$ средняя скорость направлена грубо (пунктир). При малых $\Delta t$ она всё точнее совпадает с касательной к траектории в данной точке A.
Модуль мгновенной скорости $v = \vert\vec{v}\vert$ — это путь, проходимый телом за единицу времени, если движение на этом малом участке считать равномерным.
Важно понимать: при неравномерном движении пройденный путь не равен модулю перемещения. Путь всегда больше, потому что траектория может быть извилистой. Но если взять очень малый промежуток времени $\Delta t$, то на таком малом участке любую траекторию можно приближённо считать прямой. И тогда путь $\Delta s$ будет примерно равен модулю перемещения $\vert\Delta\vec{r}\vert$.
Поэтому модуль мгновенной скорости можно выразить и через путь:
\[v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{ds}{dt}\]В быту, говоря «скорость», мы чаще всего имеем в виду именно модуль мгновенной скорости — то, что показывает спидометр.
Понятие мгновенной скорости — один из важнейших шагов в физике. Именно оно позволило описывать не только равномерное, но и любое, сколь угодно сложное движение. Ньютон и Лейбниц создали для этого математический аппарат — дифференциальное исчисление, которое стало языком всей современной физики.
Мгновенная скорость — это пример того, как человеческий ум проникает в суть природы. Мы не можем остановить время, но можем мысленно представить его бесконечно малые промежутки и увидеть, что происходит в каждое мгновение. Так мы познаём тот непрерывный божественный порядок, который проявляется в каждом движении — от полёта пули до вращения галактик.