В §7 мы определили скорость равномерного прямолинейного движения:
\[\vec{v} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}\]Но скорость нужна не сама по себе. Главное, что она даёт, — возможность предсказать, где тело окажется в любой момент времени. Выведем из этого определения уравнение движения.
Пусть в начальный момент времени $t_0$ тело находилось в точке с радиус-вектором $\vec{r}_0$, а в произвольный момент времени $t$ — в точке с радиус-вектором $\vec{r}$. Тогда перемещение за время $\Delta t = t - t_0$ равно $\Delta\vec{r} = \vec{r} - \vec{r}_0$. Подставим это в определение скорости:
\[\vec{v} = \frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{t - t_0}\]Если принять начальный момент $t_0 = 0$, получим:
\[\vec{v} = \frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{t}\]Отсюда:
\[\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{v}t \qquad (1)\]Это уравнение равномерного прямолинейного движения в векторной форме. Если известны начальное положение $\vec{r}_0$ и скорость $\vec{v}$, мы можем найти положение тела $\vec{r}$ в любой момент $t$.
На рисунке показана геометрическая интерпретация: радиус-вектор $\vec{r}$ тела в момент $t$ складывается из начального радиус-вектора $\vec{r}_0$ и вектора $\vec{v}t$, который за время $t$ «набегает» благодаря движению.
Векторное уравнение (1) удобно, но на практике чаще работают с числами — проекциями векторов на оси координат.
Выберем оси так, чтобы тело двигалось вдоль оси $OX$. Тогда проекции радиус-векторов на оси $OY$ и $OZ$ равны нулю, и уравнение (1) в проекциях принимает вид:
\[x = x_0 + v_x t \qquad (2)\]Здесь $x$ — координата тела в момент $t$, $x_0$ — начальная координата, $v_x$ — проекция скорости на ось $OX$. Если $v_x > 0$, тело движется в положительном направлении оси; если $v_x < 0$ — в отрицательном.
Пройти путь $s$ при движении вдоль оси $OX$ можно найти как модуль изменения координаты:
\[s = \vert x - x_0 \vert = \vert v_x \vert \, t \qquad (3)\]Уравнение (2) — это линейная функция. Её графики дают наглядное представление о движении.
Рассмотрим сначала график зависимости проекции скорости от времени. При равномерном прямолинейном движении $v_x = \text{const}$, поэтому график — прямая, параллельная оси времени.
Площадь прямоугольника под графиком ($v_x$ на $t$) равна изменению координаты $\Delta x$ за время $t$. В этом — глубокий смысл: произведение скорости на время даёт перемещение.
Теперь посмотрим на график зависимости координаты от времени. Уравнение $x = x_0 + v_x t$ — это прямая линия. Её наклон определяется скоростью.
На рисунке три случая:
Чем круче прямая, тем больше скорость.
Уравнения (1) и (2) описывают строго равномерное прямолинейное движение. Но в реальном мире такое движение встречается лишь приближённо. Автомобиль никогда не едет абсолютно прямо и с абсолютно постоянной скоростью: мешают неровности дороги, порывы ветра, изменение нажатия на педаль.
Однако пока отклонения малы, а промежуток времени невелик, уравнения работают с точностью, достаточной для любых практических задач. В этом и состоит сила физической модели: мы отбрасываем несущественное, чтобы увидеть главное — тот божественный порядок, который лежит в основе всех движений.