В §6 мы познакомились с перемещением — вектором, который показывает, куда и насколько сместилось тело. Но перемещение само по себе не говорит, как быстро оно произошло. Одно и то же перемещение может быть совершено за час, а может — за секунду. А значит, нам нужна величина, которая связывает перемещение со временем.
Предположим, тело движется равномерно и прямолинейно. Это значит: траектория — прямая линия, и за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения. В таком движении скорость проще всего поддаётся описанию.
Пусть за небольшой промежуток времени $\Delta t$ тело, двигаясь равномерно и прямолинейно, перешло из точки $M_1$ в точку $M_2$, совершив перемещение $\Delta\vec{r}$. Если мы разделим вектор перемещения на время, в течение которого оно произошло, мы получим новую векторную величину. Её называют скоростью равномерного прямолинейного движения:
\[\vec{v} = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} \qquad (1)\]Или словами: скорость равномерного прямолинейного движения тела — это вектор, равный отношению его перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло.
Время $\Delta t$ — всегда положительная величина. Поэтому направление скорости $\vec{v}$ совпадает с направлением перемещения $\Delta\vec{r}$. Куда движется тело — туда и направлен вектор скорости.
Модуль перемещения $\vert\Delta\vec{r}\vert$ — это расстояние, которое прошло тело за время $\Delta t$. А раз движение равномерное, то модуль скорости $v = \vert\vec{v}\vert$ есть величина, численно равная расстоянию, проходимому телом за единицу времени.
Проще говоря: если скорость тела равна 5 м/с, значит, за каждую секунду оно проходит 5 метров. За две секунды — 10 метров, и так далее.
Зная скорость равномерного прямолинейного движения как вектор, мы знаем, какое перемещение совершает тело за единицу времени. А значит, можем предсказать, где оно окажется в любой будущий момент.
Из определения скорости (1) можно получить очень важное соотношение.
Пусть в начальный момент времени $t_0$ тело находилось в точке с радиус-вектором $\vec{r}_0$, а в произвольный момент времени $t$ — в точке с радиус-вектором $\vec{r}$. Тогда перемещение за время $\Delta t = t - t_0$ равно $\Delta\vec{r} = \vec{r} - \vec{r}_0$.
Подставим это в определение скорости:
\[\vec{v} = \frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{t - t_0}\]Если принять начальный момент времени $t_0$ равным нулю, то:
\[\vec{v} = \frac{\vec{r} - \vec{r}_0}{t}\]Отсюда:
\[\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{v}t \qquad (2)\]Это уравнение равномерного прямолинейного движения в векторной форме. Оно позволяет найти положение тела (его радиус-вектор) в любой момент времени, если известны его начальное положение и скорость.
На практике чаще пользуются не векторами, а их проекциями на оси координат. Выберем систему координат так, чтобы тело двигалось вдоль одной оси, например $OX$. Тогда проекции радиус-векторов на оси $OY$ и $OZ$ равны нулю, и уравнение (2) в проекциях принимает вид:
\[x = x_0 + v_x t \qquad (3)\]Здесь $x$ — координата тела в момент времени $t$, $x_0$ — начальная координата, $v_x$ — проекция скорости на ось $OX$.
Если $v_x > 0$, тело движется в положительном направлении оси; если $v_x < 0$ — в отрицательном.
Путь $s$ — длина траектории, пройденная телом, — при движении вдоль оси $OX$ равен модулю изменения координаты:
\[s = \vert x - x_0 \vert = \vert v_x \vert \, t \qquad (4)\]Строго говоря, равномерного прямолинейного движения в чистом виде в природе не существует. Любой автомобиль на шоссе чуть-чуть отклоняется от прямой линии; скорость его то возрастает, то убывает — от неровности дороги, от порыва ветра, от изменения нажатия на педаль. Но если отклонения малы, а промежуток времени не слишком велик, то с достаточной для практических целей точностью движение можно считать равномерным и прямолинейным.
В этом — одна из важнейших способностей человеческого ума: видеть за хаосом реальности простой и стройный порядок. Бог создал мир по единым законам, и эти законы проявляются даже в несовершенстве земных движений. Мы, люди, можем отвлечься от мелких помех и увидеть ту идеальную картину, которая лежит в основе всех вещей. Именно так мы познаём божественный замысел — через упрощение, через модель, через формулу.
Уравнение (3) — это линейная функция. График зависимости координаты $x$ от времени $t$ — прямая линия. Её наклон определяется скоростью: чем больше скорость, тем круче прямая.
Если скорость положительна, прямая идёт вверх; если отрицательна — вниз. Если скорость равна нулю — прямая горизонтальна: тело покоится.
График зависимости проекции скорости $v_x$ от времени $t$ при равномерном прямолинейном движении — прямая, параллельная оси времени. Площадь прямоугольника под этим графиком (произведение $v_x$ на $t$) равна изменению координаты $\Delta x$ за это время.
За каждой линией на графике стоит реальное движение, за каждым изменением координаты — реальное событие в мире, устроенном по единому божественному плану. Графики — это язык, на котором мы записываем этот план.