Когда мы говорим «положение тела в пространстве», может показаться, что пространство — это некая пустота, внутри которой расставлены координатные оси, а тела в ней просто «находятся». Это не так.
Пространство — не контейнер. Координатные оси не начерчены в пустоте. Положение тела имеет смысл только относительно других тел. Когда мы говорим о координатах, мы всегда неявно подразумеваем тело отсчёта, относительно которого эти координаты заданы. Система координат — это наш способ договориться, как именно описывать взаимное расположение тел.
Поэтому каждый раз, когда в тексте встречается выражение «положение тела в пространстве», мысленно добавляй к нему: «…относительно других тел». Пространство есть не что иное, как совокупность отношений между телами. Но так как слово «пространство» привычно и удобно, мы будем его использовать — с этой важной оговоркой.
Прежде чем описывать движение, нужно уметь определять, где находится тело — то есть каково его положение относительно других тел. В том-то и сложность: положение одного и того же тела в один и тот же момент времени относительно разных предметов будет разным.
Представь космический корабль, стартовавший с Байконура. Где он находится? Если мы говорим относительно Земли — он в космосе. Относительно Луны — он ещё очень далеко. Относительно Солнца — он где-то рядом с Землёй. Одно и то же тело, три разных положения.
Поэтому, описывая положение тела, нужно обязательно указать, относительно какого другого тела мы его рассматриваем. Это другое тело называют телом отсчёта.
Тело отсчёта можно выбирать произвольно. Им может быть Земля, самолёт, в котором ты летишь, космическая станция, Солнце — всё, что удобно для решения задачи. Но важно помнить: если мы изменим тело отсчёта, изменится и описание положения.
Однако и этого недостаточно. Даже выбрав тело отсчёта, нужно уточнить, относительно какой именно его точки мы определяем положение. Например, положение спутника относительно Земли будет разным, если считать от Москвы или от космодрома Байконур. Поэтому тело отсчёта дополняют системой координат.
Если тело отсчёта выбрано, положение точки относительно него можно задать двумя способами: с помощью координат или с помощью радиус-вектора.
Координатный способ. Из курса математики ты уже знаешь, как задать положение точки на плоскости. Для этого проводят две взаимно перпендикулярные оси — $OX$ и $OY$. Точка их пересечения называется началом координат. Положение точки $M$ задаётся двумя числами — её координатами $x$ и $y$.
В пространстве нужны три оси — $OX$, $OY$, $OZ$ — и три координаты: $x$, $y$, $z$. Каждая координата показывает, на каком расстоянии от начала координат вдоль соответствующей оси находится точка. Если число положительное — отрезок откладывается в положительном направлении оси, если отрицательное — в противоположном.
Чтобы найти координаты точки, нужно проделать обратные действия: из точки опустить перпендикуляры на оси координат и измерить полученные отрезки.
Способ радиус-вектора. Положение точки можно задать и иначе — с помощью радиус-вектора. Радиус-вектор — это направленный отрезок, проведённый из начала координат в данную точку. Его принято обозначать буквой $\vec{r}$.
Чтобы с помощью радиус-вектора определить положение точки, нужно знать две вещи: его модуль (то есть длину, расстояние от начала координат до точки) и его направление в пространстве.
Итак, положение точки в пространстве определяется либо её координатами, либо радиус-вектором. Оба способа равноправны и связаны между собой.
Модуль и направление любого вектора, в том числе радиус-вектора, удобно находить через его проекции на оси координат. Что такое проекция?
Представь ось, например $OX$. Возьми вектор $\vec{a}$. Опусти из его начала $A$ и конца $B$ перпендикуляры на эту ось. Точки $A_1$ и $B_1$ — это проекции начала и конца вектора на ось. Длина отрезка $A_1B_1$ между этими проекциями, взятая со знаком «плюс» или «минус», и есть проекция вектора на данную ось.
Проекцию принято обозначать той же буквой, что и вектор, но без стрелки и с индексом, указывающим ось. Например, $a_x$ — проекция вектора $\vec{a}$ на ось $OX$, $a_y$ — на ось $OY$.
Когда направление от проекции начала к проекции конца совпадает с положительным направлением оси, проекция считается положительной. Если же оно противоположно — отрицательной. Это легко заметить: если вектор образует острый угол с осью, проекция положительна, если тупой — отрицательна. Если вектор перпендикулярен оси, его проекция равна нулю.
Важно понимать: координаты, радиус-вектор, оси — всё это лишь способы описания взаимного расположения тел. Никакой абсолютной системы координат, начерченной в пустоте, не существует. Есть только тела и их отношения друг к другу. И тот стройный порядок, который мы открываем в этих отношениях, — часть великого божественного порядка, пронизывающего всю Вселенную.