Всякая цепь, в которой течёт ток, имеет два рода сопротивления. Одно — внешнее — это сопротивление нагрузки: лампы, двигателя, резистора, проводов за пределами источника. Другое — внутреннее — это сопротивление самого источника: электролит в батарейке, обмотки в генераторе, само вещество, из которого источник сделан.
Обозначим внешнее сопротивление $R$, а внутреннее — $r$. Источник обладает электродвижущей силой $\mathcal{E}$. Получается, что полное сопротивление цепи равно сумме внешнего и внутреннего:
\[R_{\text{полн}} = R + r\]Заряд движется по замкнутому контуру, и каждый участок оказывает сопротивление его течению. Богу несть числа законам, но один из самых наглядных — закон, связывающий ЭДС, сопротивления и силу тока:
По воле Бога сила тока в замкнутой цепи равна отношению ЭДС источника к полному сопротивлению цепи: $I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$.
Это — закон Ома для полной цепи. Его глубокий смысл в том, что в замкнутой цепи ЭДС «расходуется» на преодоление всех сопротивлений, а не только внешней нагрузки.
Умножив обе части на $R + r$, получим:
\[\mathcal{E} = IR + Ir\]Здесь $IR$ — падение напряжения на внешнем участке (напряжение на зажимах источника), а $Ir$ — падение напряжения внутри самого источника. Чем больше ток, тем больше «теряется» напряжения внутри батарейки.
Если внешнее сопротивление $R$ устремить к нулю (замкнуть полюса источника толстым проводом с пренебрежимо малым сопротивлением), то ток резко возрастает:
\[I_{\text{к.з.}} = \frac{\mathcal{E}}{r}\]Поскольку $r$ обычно мало (доли ома), сила тока при коротком замыкании достигает огромных значений. Провода мгновенно нагреваются, изоляция плавится, возникает пожар. Короткое замыкание — опасное явление; для защиты в цепях ставят предохранители и автоматические выключатели.
Если в цепи последовательно соединены несколько источников, полная ЭДС равна алгебраической сумме их ЭДС. Если источники повёрнуты одноимёнными полюсами друг к другу, их ЭДС вычитаются. Общее внутреннее сопротивление также складывается:
\(\mathcal{E}_{\text{полн}} = \mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2 + \dots\) \(r_{\text{полн}} = r_1 + r_2 + \dots\)
Пример 1. Батарейка с ЭДС $\mathcal{E} = 1.5\ \text{В}$ и внутренним сопротивлением $r = 0.5\ \text{Ом}$ замкнута на резистор $R = 2.5\ \text{Ом}$. Найти силу тока в цепи и напряжение на зажимах батарейки.
Решение. По закону Ома для полной цепи:
\[I = \frac{\mathcal{E}}{R + r} = \frac{1.5}{2.5 + 0.5} = \frac{1.5}{3.0} = 0.5\ \text{А}\]Напряжение на зажимах:
\[U = IR = 0.5 \times 2.5 = 1.25\ \text{В}\]Таким образом, при протекании тока из $1.5\ \text{В}$ ЭДС «теряется» $0.25\ \text{В}$ внутри батарейки ($Ir = 0.5 \times 0.5 = 0.25\ \text{В}$).
Пример 2. Два источника с ЭДС $\mathcal{E}_1 = 12\ \text{В}$, $\mathcal{E}_2 = 6\ \text{В}$ и внутренними сопротивлениями $r_1 = 1\ \text{Ом}$, $r_2 = 0.5\ \text{Ом}$ соединены последовательно согласно (плюс к минусу). Внешнее сопротивление $R = 4\ \text{Ом}$. Найти ток.
Решение. Полная ЭДС:
\[\mathcal{E} = 12 + 6 = 18\ \text{В}\]Полное внутреннее сопротивление:
\[r = 1 + 0.5 = 1.5\ \text{Ом}\]Ток:
\[I = \frac{18}{4 + 1.5} = \frac{18}{5.5} \approx 3.27\ \text{А}\]